شبیه سازی یک مدل بر هم کنشی جدید خاک-تاير به روش اجزای محدود غیرخطی

 

 

 

شبیه سازی یک مدل بر هم کنشی جدید خاک-تاير به روش اجزای محدود غیرخطی
 (کد مقاله296)

محمد معراجی[1] ، سعادت کامگار[2] ، حسین اشرفی[3]

 

 

چکیده

       روش­های مدل سازی متعددی به منظور بررسی برهمکنش تایر بر روی خاک مورد استفاده قرار گرفته شده­ است. با ارتقای قابلیّت­های محاسباتی رایانه­ها، تحلیل به روش اجزای محدود در این زمینه اهمیّت بالایی به دست آورده است. اگرچه در حال حاضر مدل سازی برهمکنش خاک- تایر به روش اجزای محدود دستخوش تحولات سریعی شده است، هنوز تلاش به منظور دستیابی به دقت و اطمینان بالاتر وجود دارد. در این مقاله، یک مدل برهم کنشی جدید تایر و خاک با نگاهی خاص به مدل اجزای محدود دوبعدی رشته­های مقاوم تایر شبیه سازی شده است. در مقایسه با سایر مدل­های موجود، هدف در این مدل جدید، یافتن یک رابطه­ی ریاضی برای کل تایر نیست، بلکه اجزای اصلی ساختار مکانیکی تایر مبنای کار قرار گرفته شده است. در این مقاله، نحوه مدل سازی الیاف مقاوم تایر به عنوان پیچیده­ترین بخش مدل اجزای محدود دو بعدی به طور کامل بحث شده است. همچنین بازسازی مدل دیواره­ی تایر به عنوان یک ماده­ی ابرالاستیک و مدل خاک نیز به عنوان یک ماده­ی الاستوپلاستیک با بیان جزئیات ارائه شده است. نتایج شبیه سازی مدل جدید بر روی خاک­های نرم که با نتایج آزمایش­های عملی مقایسه شدند، تأییدکننده­ی قابلیت­های این مدل عددی می­باشند.

 

کلیدواژه: برهم کنش خاک- ­تاير، روش اجزاي محدود غیرخطی، الیاف مقاوم تایر

1- مقدمه

مسئله­ی بر هم­کنش تاير و خاک يکي از موضوعات مهم پژوهشي براي خودروسازان و محقّقين بخش مکانيک خاک مي­باشد. در گذشته تحقيقاتي در اين زمينه صورت گرفته و بسته به اهداف مورد نياز و انجام فرض­هاي ساده­سازي شده­اي، مسئله برهمکنش تاير و خاک شبيه سازي شده و بعضاً با تغيير پارامترهاي مؤثر بر عملکرد شبيه سازي تا حدي خواسته­هاي مورد نياز بهينه شدند. تمام نيروهاي وارد از طرف زمين که از طریق تاير به خودرو اعمال مي­شود موجب حرکت خودرو شده و راننده را قادر به کنترل مسير حرکت مي­نمايد، بنابراین اهميّت بهينه ­سازي مسئله برهمکنش تایر و خاک آن است که موجب ارتقای خصوصیات دینامیکی خودروهای خارج از جاده می­شود. افزايش خصوصيات ديناميکي تاير در مبحث خودروهاي کشاورزي، افزايش توان مالبندي را به دنبال دارد. همچنین این امر موجب کاهش مقاومت غلتشي تایر شده که نتیجه­ی عملی آن کاهش مصرف سوخت و افزايش بازده کششي می­باشد. البته ممکن است که تحقّق همزمان همه عملکردهاي مطلوب ميسر نباشد.

بايد توجه داشت که در شرايط واقعي که آج­هاي تاير بر روي سطح خاک تماس پيدا مي­کنند، بسياري از مدل­هاي عددي که با فرض پيوستگي مواد شبيه­سازي، ایجاد شده­اند توانايي مدل سازی و حل معادلات در لبه­هاي نوک تيز آج را ندارند و به همين دليل است که در غالب مدل­هاي عددي، سطح تاير بدون برجستگی و صاف در نظر گرفته شده است. در برخی موارد براي در نظر گرفتن ناهمواری­های سطح، ضرايبي فرض شده و اين ضرايب در مدل­سازی دخالت داده شده است [1].

متأسفانه علي­رغم تلاش­هايي که در سال­هاي اخير به مسئله مدل سازی برهمکنش تاير و سطح صلب انجام شده، در زمينه­ي تاير و خاک کارهاي کمي به ثمر نشسته شايد علت اصلي آن، طبيعت پيچيده­ي ترکيبی ابرالاستيک تاير و حل همزمان با رفتار غير خطي و تراکم پذير الاستوپلاستيک خاک است. خاک به طور طبيعي ترکيبي از سه فاز مايع، جامد و گاز است که شامل سنگ­هاي معدني اوليه، کاني­هاي رسي، سراميک­هاي دانه­اي، مواد آلي، آب، نمک­هاي غير قابل حل، هوا، بخار آب و ديگر گازها است. وجود نايکنواختي­ها در خاک موجب کاهش دقت و عدم قطعيّت­ها در نتايج حاصل شده مي­گردد. خاک رفتاري الاستيک پلاستيک از خود نشان مي­دهد یعنی هنگامي که تنش اعمال شده به آن از تنش تسليم کمتر باشد، رفتار الاستيک از خود نشان مي­دهد ولي اگر تنش اعمالي بيشتر باشد، رفتار ماده تغيير مي­کند و وارد مرحله­ی پلاستيک شده و متناسب با تنش اعمالي سختي خاک نيز تغيير مي­يابد. با وجود اينکه هم اکنون در روش اجزاي محدود به منظور مدل سازی تماس در اجسام با محيط پيوسته­ي خطي،    تئوري­هايي ارائه شده است ولي در محيط غيرخطي محدوديت­ها همچنان وجود دارند که راه حل­هاي پيچيده­اي براي حل مسئله­ي تماس دو جسم غير خطي بکار مي­روند. در تماس دو جسم بايد شرط عدم نفوذ در سطح مشترک همواره رعايت شود و اين در حالي است که در نظر گرفتن رابطه­اي براي بيان آن دشوار است و نياز به اعمال فرض­هايي برای ساده سازی دارد.

 

2- مدل­های برهمکنش خاک- تایر

معروفترین مدل برای شبیه سازی برهمکنش خاک- تایر، توسط بکر[4] [2] در سال 1969 میلادی ارائه شد و در سال­های بعد و توسط محققین دیگر بهبود یافت. این مدل ریاضی، علی­رغم سادگی در استفاده و امکان شبیه سازی سریع کامپیوتری، در برخی موارد به خصوص در خاک­های با جریان تغییر شکل بالا، نتایج سئوال برانگیزی ارائه می­دهد. مشکلات اصلی این مدل، مستقل در نظر گرفتن برهمکنش عمودی و محیطی خاک- تایر می باشد، که با وجود قابلیت استفاده در جاده­های صلب، از اثرات خاک نرم بر تایر صرف نظر می­شود.

با استفاده از تحلیل اجزای محدود، امکان فرض همزمان برهمکنش عمودی و محیطی خاک- تایر میسر می­شود، که این قابلیت در خاک­های چسبناک، امکان در نظر گرفتن تغییر شکل در تمام راستاها را ممکن می­سازد. اولین رهیافت­ها در محاسبه­ی برهمکنش خاک- تایر به روش تحلیل اجزای محدود توسط یانگ[5] و همکاران [3 و 4] انجام شد که در این تحلیل، خاک با مدل اجزای محدود بیان شد و به جای تایر، مقدار نشست و توزیع فشار تئوری جایگزین شد. رگلی³ و همکارانش [5]، مدلی دوبعدی از تایر و خاک ایجاد کردند که در آن سطح تایر دارای آج­های برجسته بوده و خاک نیز به صورت یک ماده­ی الاستو پلاستیک در نظر گرفته شد. این رهیافت همبستگی زیادی با مکانیسم واقعی برهمکنش داشت، اما همچنان تأثیر مهم رشته­های مقاوم تایر نشان داده نشد. علاوه بر این مقادیر تراکم خاک و نیروهای محاسبه شده در لغزش­های بالا با نتایج آزمایش­ها اختلاف زیادی داشته­اند. فرورز⁴ [6] با شبیه سازی دوبعدی، مدلی برای برهمکنش تاير رادیال و خاک ارائه کرد. در این مدل توجه بیشتری به ساختار اجزای تایر شده است و توانايي آن در مدل سازي تماس بر روی سطوح مختلف افزایش یافته است. اما این مدل توانایی شبیه سازی تایرهای بایاس را نداشته و علاوه بر آن در مدل سازی آج تایر و خاک، ساده سازی­های زیادی صورت گرفته است.

 

3- مدل­های تایر

با توجه به ساختار تایر بادی (شکل 1)، بخش­های اصلی تایر شامل آج، الیاف مقاوم تایر، حجم پر شده از هوا، تسمه (که فقط در تایرهای رادیال وجود دارند) و رینگ می­باشند. از میان اجزای تشکیل دهنده­ی تایر، حجم هوای درون تایر و الیاف مقاوم تایر نقش مؤثرتری در رفتار دینامیکی و تغییر شکل تایر ایفا می­کنند [6]. این دو بخش به صورت سه بعدی به روش اجزای محدود به راحتی قابل مدل سازی می­باشند. مدل­های مختلف سه بعدی توانایی نشان دادن جزئیات بخش­های مختلف تایر را دارا می­باشند. اما حجم محاسبات مدل­های سه بعدی به خصوص با در نظر گرفتن معادلات حاکمه­ی غیر خطی تایر و خاک و مسئله­ی تماس بسیار زیاد می­شود، لذا به دلیل اینکه در بسیاری موارد­ تا حد قابل قبولی امکان کاهش حجم محاسبات به فضای دوبعدی وجود دارد، می­توان با این ساده سازی، سرعت عملیات محاسباتی را تا حد زیادی افزایش داد. مدل­های دوبعدی که تاکنون به منظور شبیه سازی تایر بر روی سطح صلب بکار رفته­اند، به سه دسته اصلی تقسیم می­شوند [7 و 8]. گروه اول شامل مدل­های کلاسیک فنر-دمپر می­باشند که اغلب برای شبیه سازی تایر بر روی سطح صلب به کار می­روند. در این مدل، ایجاد تمـاس در یک نقطه اتفاق می­افتد، از اینرو

شکل 1- اجزای تشکیل دهنده­ی تایر

 

برای شبیه سازی تایر بر روی زمین تغییر شکل­پذیر مناسب نمی­باشند. گروه دوم دارای مرز خارجی برای تایر بوده و توانایی تماس بر روی زمین تغییر شکل­پذیر را داراست ولی با توجه به رفتار مکانیکی تایر، قادر به محاسبه­ی تغییر شکل واقعی در قسمت تایر به خصوص در فشار کم و تغییر شکل زیاد نیستند. گروه سوم شامل مدل­های پارامتری مانند مدل پجکا می­شوند. این مدل­ها رابطه­ی بسیار زیادی با شرایط واقعی دارند، زیرا با استفاده از انداز­ه­گیری شرایط واقعی تایر ایجاد می­شوند و لازم است که تایر تحت شرایط مختلف، آزمایش شود. بنابراین به منظور ایجاد یک مدل مناسب برای خاک­های مختلف، نیاز به انجام تعداد زیادی آزمایش وجود دارد.

 

4- فرمول­بندی ریاضی رهیافت اجزای محدود

4-1- اصول کلی

اجزای تشکیل دهنده­ی ساختار تایر در رفتار کلی مکانیکی تایر تأثیرگذار می­باشند. از این میان، الیاف مقاوم تایر که دارای حرکات قابل ملاحظه در بعد سوم می­باشد، برای مدل سازی دوبعدی از اهمیّت بیشتری برخوردار می­باشند. نقش الیاف مقاوم تایر در انتقال نیرو از آج تایر به رینگ بسیار مهم است. فشار درون تایر همانطور که در شکل 2 هم نشان داده شده است، باعث ایجاد کشش در رشته­های مقاوم تایر شده و وزن تایر نیز توسط همین نیروهای کششی تحمل می­شود.

نیروی کششی که درون الیاف مقاوم به وجود می­آید در راستای مستقیم کردن آنها صورت می­گیرد، اما فشار باد داخل تایر موجب خمیده شدن راستای الیاف شده و راستای آن­ها را تا حد امکان به شکل قسمتی از دایره شبیه می­کند. از اینرو تغییر شکل الیاف همواره در معرض تعادل بین فشار باد تایر و کشش بین رینگ و آج تایر قرار دارد. از اینرو می­توان نیروهای کشش موضعی الیاف تایر در سمت اتصال آن­ها به رینگ و آج تایر را با استفاده از مقدار تغییر شکل ارتفاع پیشانی تایر (h) و فشار باد تایر (p) محاسبه کرد. این مقادیر هندسی به صورت شماتیک در شکل 3 نشان داده شده­اند.

 

 

             شکل2- المان­های تایر دوبعدی

شکل 3- رفتار تغییر شکل در اثر اعمال نیرو در الیاف مقاوم تایر

 

المان­های سازنده­ی الیاف مقاوم تایر دارای رفتار کشش و فشار خاص بوده و این المان­ها بین یک نقطه از رینگ و نقطه­ی متناظر آن بر روی آج قرار خواهند گرفت. رابطه­ی کشش و فشار در این المان، که نمودار آن در شکل 3 مشخص است، از حل همزمان دو معادله­ی رابطه (1) حاصل می­شود:

(1)                                                                                                                                    

 

θ: زاويه بين امتداد مماس بر کمان و خط قائم می­باشد؛ F: نيروي کشش الياف در نقطه­ي اتصال آنها به رينگ و آج مي‌باشد؛ h و h_max به ترتیب ارتفاع پیشانی در شرایط آزمایش و بیشترین مقدار تئوری پیشانی تایر می­باشند؛ و P: فشار باد تایر می­باشد.

قسمت لاستیکی تایر و آج نیز مانند رشته­های مقاوم از اجزای تأثیرگذار در مسئله­ی برهمکنش خاک- تایر می­باشد که رفتار مادی آن مطابق با ماده­ی ابرالاستيك می­باشد. ابرالاستيك به ماده­اي اطلاق مي‌شود كه مي‌تواند كرنش‌هاي الاستيك بزرگ را به طور برگشت پذير ارائه دهد. مواد لاستيكي و بسياري از پليمرها در اين گروه قرار مي‌گيرند. رفتار ساختاري اين مواد معمولاً از انرژي كرنشي مشتق مي‌شود. مدل‌ ابرالاستيك برای آج با فرض همسانگرد و دما ثابت ایجاد شده است، که اين فرض امکان توصيف انرژي كرنشي را بر حسب نامتغیرهاي[6] كرنش میسر می­کند. به جز برخي موارد استثنا، مواد در این مدل به طور تقريبي تراكم ناپذير فرض مي‌شوند.

عامل مهم و تأثیرگذار دیگر در این مسئله، خاک می­باشد. برای شبیه سازی خاک از مدل الاستوپلاستيک استفاده شده است که کاربردی­­ترين مدل در بیان رفتار مکانيکي خاک به حساب می­آید. رفتار مواد در يک مدل الاستوپلاستيک، دارای سه ويژگي عمده زیر می­باشد:

1-  تا زماني که به محدوده پلاستيک نرسيده­ايم، رفتار ماده به صورت کاملاً الاستيک خواهد بود.

2-  در مدل الاستوپلاستيک يک معيار تسليم وجود دارد که در آن سطحي از تنش مشخص شده که بعد از آن جريان پلاستيک[7] در ماده در نظر گرفته مي­شود.

3-  رابطه بين تنش و کرنش براي رفتار بعد از تسليم بايد تغيير کند. در اين زمان، هم مؤلفه­ی الاستيک و هم مولفه­ی پلاستيک وجود خواهند داشت [9].

بنابراين، تحليل پلاستيك داراي سه ركن اساسي زیر مي‌باشد:

1-  منحني تنش- كرنش و معيار تسليم

2-  قانون جريان

3-  قانون سخت شوندگي

در برخی موارد، خاک به عنوان تأثیرگذارترین عامل در مسئله­ی برهمکنش تایر و خاک مطرح می­شود، از اینرو یک رابطه­ی ریاضی مناسب که رفتار الاستو پلاستیک خاک را به خوبی نشان دهد، تضمین کننده­ی صحت نتایج مدل سازی به حساب می­آید.

برای مدل­سازی تماس در این شبیه سازی از روش ضریب لاگرانژ استفاده شده است. در این رهیاف با مقایسه­ی فاصله­ی دو گره که قرار است با هم تماس برقرار کنند، یک المان دو گره­ای ساده در نظر گرفته می­شود که در هنگام تماس دارای طول صفر یا منفی خواهند شد. این طول، ضریب لاگرانژ نامیده می­شود و در معادله­ی قیود دینامیکی اعمال می­شود. این معادله­ با استفاده از روش تکرار نیوتن - رافسون[8] حل می­شود [10 و 11].

 

4-2- معادلات حاکمه

معادله­ی حاکم بر رفتار ماده باید رابطه­ی بین تنش و کرنش ایجاد شده در ماده را مشخص کند. روابطی که برای این منظور در مواد غیر خطی به کار می­روند، در غالب موارد از اصل کار مجازی استفاده شده است. با استفاده از این اصل، تغییر مقدار انرژي كرنشي ذخیره شده در ماده، برابر با مقدار کار خارجی است که بر روی ماده انجام می­شود. مقدار انرژی کرنشی ذخیره شده در آج تایر به صورت دو بعدی به شکل زیر می­باشد:

(2)                                                                                                                                  

در این رابطه، A: مساحت مقطع ماده و W: مقدار انرژی کرنشی ذخیره شده در آن می­باشد. تانسورهای تنش و کرنش در رابطه­ی فوق به صورت زیر می­باشند:

(3)                                                                                                                                 

(4)                                                                                                                                            

به دلیل بزرگ بودن مقدار تغيير شكل­ها، ديگر نمي­توان از تنسور كرنش بينهايت كوچك استفاده نمود و علاوه بر آن در تعريف معادله ساختاري نيز بزرگ بودن تغيير شكل وارد مي­شود. تئوري‌هايي مختلفی در مدل‌سازي مواد ابرالاستيك ارائه شده‌اند که بسیاری از آن­ها از تابع انرژي كرنشي استخراج شده‌اند. در این شبیه سازی از مدل موني - ریولين[9] استفاده شده است، که شايد بتوان اين مدل را معروف­ترين مدل ساختاري مواد ابر الاستيك دانست چرا كه به خصوص براي مدل­سازي لاستيك‌هاي طبيعي تراكم ناپذير کاربرد فراوانی دارد. شکل انرژي پتانسيل كرنشي براي حالت 2 پارامتري به صورت زير مي‌باشد:

(5)                                                                                        

در این رابطه، (C₁₀ , C₀₁ , d) ثوابت مادي مي‌باشند، (I₁, I₂) ناورداهای اول و دوم بوده و( ) ژاکوبین تنسور تغییر شکل می­باشد.

کار خارجی وارد بر ماده از دو بخش کار ناشی از نیروهای حجمی و کار ناشی از نیروهای مرزی تشکیل شده که روابط آن­ها در زیر آمده است:

(6)                                                                                              

(7)                                                                                                

در این روابط ( ) نیروهای حجمی در راستای x و y می­باشند و ( ) نیروهای اعمال شده به مرز جسم در راستای x و y می­باشند.

تابع انرژي پتانسيل ماده به صورت رابطه­ی زیر تعریف می­شود:

(8)                                                                                                                             

مي‌توان نشان داد که مقدار π همواره ثابت است، از اینرو با مشتق گیری، صفر شده و معادله­ی حاکمه­ ماده­ی ابرالاستیک آج تایر تعیین می­شود [12].

خاک در این شبیه سازی به عنوان یک ماده­ی الاستوپلاستیک مستقل از زمان در نظر گرفته شده است و با رسيدن به سطح تنش تسلیم، كرنش برگشت ناپذير در آن اتفاق می­افتد. كرنش پلاستيك در اين حالت به مقدار تنش و تاريخچه­ی تنش بستگي دارد. پس از گذر از تنش تسلیم، بخشی از رفتار خاک الاستیک و بخشی دیگر پلاستیک می­باشد، از اینرو در طی نمو کرنش، تغییر کرنش قابل تقسیم به دو مؤلفه­ی الاستیک و پلاستیک زیر می­باشد:

(9)                                                                                                                           

نمو کرنش الاستیک از طریق معادله­ی (2) با نمو تنش مرتبط می­باشد. با توجه به اینکه تنش از دو بخش انحرافی[10] و هیدرواستاتیک تشکیل شده است، نمو کرنش الاستیک به این شکل بیان می­شود:

(10)                                                                                                          

در این رابطه، ( ) به ترتیب ضریب پواسون و مدول الاستیک خاک می­باشند. نمو کرنش پلاستیک نیز متناسب با مقدار پتانسیل پلاستیک (Q) بر گرادیان تنش می­باشد:

(11)                                                                                                                                

در این رابطه، (l) ضريب پلاستيك و (Q) پتانسيل پلاستيك و معرف جهت كرنش پلاستيك مي‌باشد. در صورتي كه تابع پتانسيل پلاستيك به عنوان سطح تسليم انتخاب شود، قانون جريان از نوع مرتبط^[11] بوده كه در اين حالت جهت كرنش پلاستيك همواره در جهت عمود به سطح تسليم مي‌باشد. می­توان نشان داد که   برابر است با:

(12)                                                                                                                                      

در این رابطه،  برابر با مقدار تنش انحرافی می­باشد. با استفاده از روابط فوق، رابطه­ی حاکمه­ی خاک پلاستیک به صورت زیر تعیین می­شود:

(13)                                                                                                      

معيار تسليم در بارگذاري چند محوره تنش كه معرف سطح تسليم مي‌باشد، تابعي از تنشهاي اصلي می­باشد:

(14)                                                                                                                                      

در صورت فراتر رفتن تنش معادل محاسبه شده در حل الاستيك از تنش تسليم، كرنش پلاستيك ظاهر خواهد شد. در اين حالت، كرنش پلاستيك مقدار تنش را طوري كاهش مي‌دهد كه معيار تسليم همواره ارضا شود. معیار تسلیم برای نمونه­ی خاک از مدل دراکر- پراگر[12] استفاده شده است. اين معيار براي حالت قانون جريان مرتبط يا غير مرتبط پيش بيني شده است. سطح تسليم با افزايش تسليم تغيير نخواهد كرد، لذا قانون سخت شوندگي وجود نداشته و ماده از نوع الاستيك- پلاستيك كامل در نظر گرفته مي‌شود. تنش معادل در اين حالت:

(15)                                                                                                  

در این رابطه، ماتریس [M] تغييرات تنش تسليم را با جهت آن بيان مي‌كند، (s_m) تنش هيدروستاتيك، {S} تنش انحرافي و b ثابت مادي بوده که از رابطه­ی زیر به دست می­آید:

(16)                                                                                                                      

در این رابطه، (f) زاويه­ی اصطكاك داخلي می­باشد. اگر تنش معادل که از رابطه­ی فوق حاصل شد از تنش تسلیم که در معیار دراکر- پراگر از رابطه­ی (17) حاصل می­شود، بیشتر شود، خاک از خود رفتار پلاستیک نیز نشان خواهد داد.

(17)                                                                                                                       

که در آن (C) ضريب چسبندگی می­باشد. تابع تسلیم که مقدار آن بر روی مرز تسلیم برابر با صفر است، به صورت رابطه­ی زیر تعریف می­شود:

(18)                                                                                      

با مشتق گیری از تابع تسلیم، مرز تسليم به صورت رابطه­ی زیر تعیین می­شود:

(19)                                                                                             

با تعیین مرز تسلیم، محدوده­ای از خاک که رفتار الاستیک یا رفتار پلاستیک از خود نشان می­دهد، مشخص می­شود، و با استفاده از رابطه­ی (10) برای مدل سازی رفتار بخش الاستیک و رابطه­ی (13) برای مدل سازی رفتار بخش پلاستیک، معادله­ی حاکم بر رفتار مکانیکی خاک کامل می­شود [9].

ثوابت مورد نیاز در این مدل سازی با استفاده از دستگاه کشش تک محوری و دستگاه برش خاک با دقت بالا در دانشگاه شیراز اندازه­گیری شدند.

 

4-3- خطی کردن معادلات

معادلات تعادل غيرخطي که تاکنون بيان کرديم، داراي دو نوع غيرخط­واري هندسي[13] و غيرخط­واري مادي[14] مي­باشند. با توجه به شرايط مادي و نيرويي داده شده در اين معادلات غير خطي، بايد به منظور حل، آن­ها را در يک شرايط تعادلي دچار تغيير ساختار کرد تا بتوان با خطي سازي آن­ها و حل تکرار شونده معادلات حاصل، راهي براي يافتن پاسخ معادله­ي غير خطي حاصل شود. دو رهيافت براي خطي سازي وجود دارد. رهیافت اول آن است که ابتدا معادلات تعادل تفکيک شوند و سپس با توجه به موقعيت  گره­ها خطي سازي انجام شود. در رهیافت دوم، ابتدا معادلات خطي شده و سپس تفکيک سازي صورت می­گيرد. رهيافت دوم در زمينه مکانيک محيط­هاي پيوسته مناسب­تر بوده و در اين پژوهش نيز روش دوم اتخاذ شده است، گرچه در برخي موارد نمي­توان با استفاده از اين روش تفکيک سازي غير استاندارد انجام داد. روش نيوتن – رافسون، متداول­ترين و مهم­ترين روش جهت خطي سازي و حل معادلات غير خطي مي­باشد. خطي سازي در اين روش با انجام يک الگوريتم مشتق سويي انجام می­شود [12].

 

4-4- رابطه اجزای محدود

با مشتق گیری سویی از معادله­ی (8) در راستای خطوط واصل گره­های هر المان از ماده­ی ابرالاستیک آج، معادله­ی اجزای محدود آن به دست می­آید که در رابطه­ی زیر نشان داده شده است:

(20)                                                                                             

(x_k) مختصات فعلی گره­های آج تایر است که (k) بار تحت الگوريتم نيوتن - رافسون اصلاح شده است. با تعیین مقدار جابجایی (u) در رابطه­ی فوق، مقدار (x_k+1) نیز به صورت (x_k+1 = x_k+u) تعیین می­شود. (F و T) به ترتيب نيروهاي معادل بيروني و دروني وارد بر آج در موقعيت جاري گره­ها می­باشند.

درایه­های ماتریس سختی [K] به صورت زیر تعیین می­شود:

(21)                    

در این روابط، (a,b) شماره­ی دو گره مجاور در المان آج می­باشد، (N_i­)ها توابع شکل، (A^(e)) مساحت المان (e)، ( ) دو بردار مبنای عمود بر هم در المان اصلي[15]، ( ) مرز المان اصلی که بردار  می­باشد، ( ) تانسور متشکله متقارن شده[16]، ( ) تنش کوشي، ( ) تابع درون یابی بر روی سطح المان و (P) فشار هیدرواستاتیک مي­باشند. ماتریس سختی کل که در رابطه­ی (21) نشان داده شده است، از سه بخش تشکیل شده که به ترتیب مؤلفه­ی متشکله، مؤلفه­ی تنش اولیه و مؤلفه­ی نیروی خارجی نامیده می­شوند.

برای حل باید معادله­ی خطی شده­ی (20) یا (21) به ازای (x₀) فرضی حل شود و سپس (x₁، x₂،...) به دست آورده شده و مقادیر (F,R) اصلاح ­شوند. این عملیات تا زمانی ادامه پیدا می­کند که مقدار تعیین شده­ی مجاز از مقدار  بزرگتر شود.

رابطه­ی اجزای محدود خاک نیز دارای رابطه­ای مشابه می­باشد ولی مهمترین تفاوت در خاک، وجود دو معادله­ی متشکه در خاک است که رفتار کلی خاک از مجموع نتایج حل این دو معادله تعیین می­شود [12]. برای تعیین رابطه­ی اجزای محدود برای خاک ابتدا باید وضعیت الاستیک یا پلاستیک خاک تعیین شود که این کار از طریق محاسبه­ی تنش تسلیم (s_y) در هر گام افزایش بار و با استفاده از معادله­ی (17) در هر المان تعیین می­شود.

تنش‌های ایجاد شده­ی درون خاک نیز بر اساس كرنش آزمون (e^tr) محاسبه مي‌شود. كرنش آزمون تفاضل بين كرنش پلاستيك در نمو قبلي و كرنش كل مي‌باشد:

(22)                                                                                                                            

تنش آزمون نیز به صورت زیر تعیین می­شود:

(23)                                                                                                                                   

که در آن  ماتریس تنش-کرنش خاک می­باشد.

تنش معادل (s_e) نیز از رابطه­ی (15) محاسبه مي‌شود. در صورتي كه (s_e) كمتر از (s_y) باشد، خاک الاستيك است و نمو كرنش پلاستيك صفر است. اما در صورتی که از تنش تسليم فراتر رود، خاک وارد مرحله­ی پلاستیک شده و نمو کرنش پلاستیک از رابطه­ی زیر تعیین می­شود:

(24)                                                                                                                                

که در آن ضريب پلاستيك (l) توسط فرآيند تكرارشونده نيوتن- رافسون از رابطه­ی زیر تعیین می­شود:

(25)                                                                      

با تعیین نمو کرنش پلاستیک، مقدار اصلاح شده­ی كرنش پلاستيك نیز با استفاده از رابطه­ی زیر حاصل مي‌شود:

(26)                                                                                                                 

كرنش الاستيك نیز با استفاده از رابطه­ی زیر محاسبه می­شود:

(27)                                                                                                                     

اکنون بردار تنش نيز قابل محاسبه است:

(28)                                                                                                                               

براي قانون جريان پلاستيك غير مرتبط، ماتريس تنش كرنش الاستوپلاستيك غير متقارن خواهد بود. براي متقارن نمودن ماتريس در روش دراکر- پراگر، اين ماتريس براي قانون جريان مرتبط، يك بار حساب مي‌شود. بار ديگر در حالت قانون جريان غير مرتبط نيز حساب شده و سپس دو ماتريس به دست آمده ميانگين­گيري مي‌شود [9].

 

 

5- نتایج آزمایش­های عملی

آزمایش­های تایر در دستگاه آزمونگر تک چرخ واقع در دانشگاه شیراز انجام شد. در این پژوهش، دو تایر بدون آج رادیال و بایاس مورد بررسی قرار گرفت که مشخصات آنها در جدول 1 آورده شده است. نتایج این آزمایش­ها با مقادیر حاصل از شبیه سازی به روش اجزای محدود مقایسه شدند. به منظور مقایسه­ی بهتر رفتار دو تایر راديال و باياس، ابعاد و وزن آنها تقریباً یکسان در نظر گرفته شد.

 

جدول 1- مشخصات تايرهای رادیال و بایاس

 

نوع تاير	شماره تاير	شرکت سازنده	قطر خارجي	قطر رينگ	پهناي ماکزيمم	پهناي رد چرخ	وزن تاير و رينگ
راديال	165 R 13	دنا	mm 583	13 اينچ	mm 165	mm 135	Kg 12
باياس	5.60 - 13	دنا	mm 577	13 اينچ	mm 142	mm 103	Kg 12

 

بار عمودی 130 کیلوگرم و کشش خالص 300 نیوتن بر روی هر دو تایر اعمال شدند. با توجه به اینکه دستگاه آزمونگر تایر در ابتدا از حالت سکون  شروع به کار می­کرد، حسگرهای دستگاه شرایط ناپایدار و شتابدار ابتدای مسیر را نیز اندازه­گیری کردند، ولی به تدریج منحنی­ها به شرایط نسبتاً پایداری میل کردند که مقادیر آنها در شکل­های 4 تا 7 نشان داده شده است.

در زمان شروع آزمایش، تایر توسط یک الکتروموتور شروع به چرخش کرد ولی همچنان حرکت انتقالی تایر که بر روی یک شاسی سنگین قرار داشت، مقدار ناچیزی بود از اینرو درصد لغزش تایرهای رادیال و بایاس در ابتدای مسیر حرکت از مقدار 100      اندازه­گیری شده است و نهایتاً به مقدار متوسط 5/5 درصد میل کرد (شکل 4). همچنین تـایر در ابتداي مسير حرکت، علاوه بر تولید نیروی کشش خالص باید نیروی دالامبر که حاصل از شتاب دستگاه می­بود را نیز فراهم می­کرد از اینرو نیروی کشش ناخالص که توسط دو تایر تولید می­شد در ابتدای مسیر زیاد بود. این نیروها برای تایرهای رادیال و بایاس به ترتیب در شکل­های 5 و 6 نشان داده شده است.

 

شکل 4- درصد لغزش تايرهای راديال و بایاس از زمان شروع حرکت تا انتهاي مسير

 

شکل 5- نمودار نيروهاي وارد بر تاير راديال از زمان شروع حرکت تا انتهاي مسير

شکل 6- نمودار نيروهاي وارد بر تاير باياس از زمان شروع حرکت تا انتهاي مسير

 

شکل 7- نمودار بازده کشش تايرهاي راديال و باياس از زمان شروع حرکت تا انتهاي مسير

 

نيروي مقاوم غلتشي در آزمايش تاير راديال مقدار کمتري نسبت به باياس نشان دادند. با توجه به اينکه نيروي کشش خالص براي هر دو تاير برابر بود، نيروي کشش ناخالص توليد شده در تاير راديال مقدار بيشتري به دست آمد که دلیل آن وجود مقاومت غلتشی بالاتر در تایر بایاس می­باشد. بازده کششي که با استفاده از محاسبه­ی لغزش و نيرو تعيين شد، براي دو تاير راديال و باياس در شکل 7 نشان داده شده است. در ابتداي مسير که نيرو و لغزش بيشتري وجود داشت، مقدار بازده کششی کمتري به دست آمد. دلیل این مسئله، وجود لغزش بسيار بالا بود و بازده کشش در لغزش بالا، مقداری پايين می­باشد. در ادامه حرکت نیز با وجود اینکه نيروي کشش خالص کاهش يافت، ولي درصد لغزش کاهش بيشتري داشت که این موجب شد تا بازده کشش افزايش يابد. بازده کشش براي مسافت­هاي بالاي 50 سانتي متر به طور متوسط در تاير راديال 12/71 و در تاير باياس 02/68  درصد مشاهده شدند.

 

6- نتایج تحلیل عددی

مدل عددی برهمکنش تایر و خاک قادر به محاسبه­ی نیروهای کنش و واکنش بین دو سطح تماس تایر و خاک می­باشد. به طور کلي، سه نوع نيرو به تاير اعمال مي­شود. بزرگترين آن­ها نيروي کشش ناخالص است که باعث حرکت تاير به سمت جلو مي­شود. نيروي مقاوم غلتشي و نيروي کشش خالص نيز در خلاف جهت حرکت تاير به آن اعمال مي­شوند که مجموع آن­ها با نيروي کشش ناخالص برابري مي­کند. نيروها با حل غیرخطی رابطه­ی اجزای محدود برهمکنش تایر و خاک به ازای یک مقدار مشخص لغزش تعيين ­شدند. پاسخ این برهمکنش با نتایج آزمایش دستگاه آزمونگر تک چرخ مقایسه شد. در محاسبات عددی نیز به منظور مقایسه­ با نتایج عملی، مقدار لغزش برابر با شرایط آزمایشگاهی منظور شد و نتایج در شکل­های 8، 9 و 10 نشان داده شده است. در شکل­ 8، منحنی شبیه سازی­شده­ی نیروهای وارد بر تایر رادیال نشان داده شده است. تغییر خواص مکانیکی المان­های خاک در زیر تایر باعث شد که منحنی­های شبیه سازی تا حدی ناهموار شوند. این ناهمواری در ابتدای برهمکنش تایر و خاک بیشتر اتفاق افتاد.

در ابتدای شبیه سازی مقادیر نیروهای به دست آمده کمتر از حد انتظار بود ولی با طی شدن مسافتی معادل با مقدار شعاع چرخ، مقادیر حاصل به تعادل و پایداری قابل قبول دست یافتند. ناپایداری و خطا در ابتدای منحنی­های شبیه سازی به دلیل عدم تحقق شرایط مرزی متعادل در ابتدای کار بود. همچنین یکنواخت شدن مرز تسلیم در انتهای مسیر باعث یکنواختی بیشتر منحنی­ها شد.

در شکل 9 نیز منحنی شبیه سازی­شده­ی نیروهای وارد بر تایر بایاس نشان داده شده است. در مسافت­های بالای 25 سانتی متر، نیروی کشش ناخالص در تایر بایاس اندکی بیشتر از تایر رادیال است. همچنین نیروی مقاومت غلتشی متوسط در تایر بایاس حدود 1/5 درصد بیشتر به دست آمد. بازده کشش که منحنی آن در شکل 10 آورده شده است، برای تاير راديال 3/6 درصد بيشتر از تاير باياس به دست آمد. این امر به دلیل بالاتر بودن درصد لغزش تایر بایاس اتفاق افتاد.

شکل 8- نمودار نيروهاي وارد بر تاير راديال در حالت شبه استاتيک

 

شکل 9- نمودار نيروهاي وارد بر تاير باياس در حالت شبه استاتيک

 

شکل 10- نمودار بازده کشش تايرهاي راديال و باياس در حالت شبه استاتيک

 

نتايج شبيه سازي عددی تاير و خاک در مقايسه با نتايج آزمايش­های عملی اختلاف زيادي نداشتند. وجود همين مقدار خطا نيز از دو بخش خطاهای ناشی از شبيه سازي و اندازه­گيري خارج نيست. بخش اول خطاي شبيه سازي به روش اجزاي محدود مي­باشد که به دليل انجام فرض دوبعدي در مدل سازي، خطاي تفکيک سازي در روش اجزاي محدود و خطای ناشی از حل معادلات به روش اجزاي محدود، به نتايج عددی وارد شده­اند. تمام تلاش­هاي صورت گرفته در اين زمينه اين بود که خطاي شبيه سازي تا حد ممکن کوچک شود ولي امکان صفر کردن این خطا غير ممکن است. خطاي ديگر که موجب اختلاف در نتايج شبيه سازي تاير و خاک با نتايج آزمايشي شد، وجود خطا در اندازه­گيري مي­باشد. به هرحال عدم وجود اختلاف زياد بين نتايج شبيه سازي تاير و خاک و نتايج آزمايش نشان مي­دهد که در اين ميان خطاي قابل توجهي وجود نداشته است. مقادير اختلاف نتايج شبيه سازي با نتايج آزمايشي در جدول 2 آورده شده است.

 

جدول 2- اختلاف نتايج شبيه سازي و نتايج عملي براي تايرهاي راديال و باياس

 

	خطاي نيروي کشش ناخالص (درصد)	خطاي نيروي کشش خالص (درصد)	خطاي بازده کشش (درصد)
تاير راديال	75/5	67/8	45/8
تاير باياس	9/5	1/9	35/7

 

8- نتيجه­گیری

در اين پژوهش يک مدل جدید از تاير دوبعدي ارائه شد که داراي توانايي­هاي ويژه بوده و نتايج آزمايش­هاي عملي نشان مي­دهند که مي­توان به نتايج اين مدل سازی تا حد خوبي اطمينان کرد. به منظور انجام شبیه­ سازی دقیق، ضرایب مکانیکی خاک به دقت اندازه­گیری شدند و شرایط آزمایش­های عملی تا حد ممکن تأثیر داده شدند. شبيه سازي یک مدل جدید برهمکنش تاير- خاک و نتایج آزمایش­ها نشان دادند که نیروی مقاوم غلتشی برای تایر رادیال در شرایط یکسان نسبت به تایر بایاس بر روی خاک    رسی- لومی دارای مقدار کمتری بود. همچنین برای کشش خالص یکسان، درصد لغزش در تایر بایاس اندکی بیشتر از تایر رادیال بود ولی نیروی کشش ناخالص تغییر چندانی در دو تایر نداشتند. مدل شبيه سازي شده­ي تاير و خاک، قادر به پيش­بيني شرايط مختلف تاير و خاک نيز مي­باشد، که از آن جمله مي­توان به تأثیر لغزش بر نیروهای وارد بر تايرها، اثر تغییر فشار باد بر نیروهای وارد بر تايرها و همچنین اثر نوع خاک بر نیروهای وارد بر تايرها اشاره کرد.

 

مراجع

   [1]        Cui, K. Defossez, P. and Richard, G. 2007. A new approach for modeling vertical stress distribution at the soil/tyre interface to predict the compaction of cultivated soils by using the PLAXIS code. Soil & Tillage Research, v( 95): 277–287.

   [2]        Bekker, M.G. 1969. Introduction to Terrain Vehicle Systems. Ann Arbor: The University of Michigan Press.

   [3]        Yong, R.N. and Fattah, E.A. 1976. Prediction of wheel–soil interaction and performance using the finite element method. Journal of Terramechanics, v(13): 227–240.

   [4]        Yong, R.N. Fattah, E.A. and Boonsinsuk, P. 1978. Analysis and prediction of tyre–soil interaction and performance using finite elements. Journal of Terramechanics, v(15): 43–63.

   [5]        Regli, G. Handke, A. and Bütikofer, M. 1993. Material laws as a basis for simulation models for the calculation of wheel-soil interaction examination using the finite element method. Journal of Terramechanics, v(30): 165-179.

   [6]        Fervers, C.W. 2004. Improved FEM simulation model for tire–soil interaction. Journal of Terramechanics, v( 41): 87–100.

   [7]        Wong, J.Y. 2001. Theory of Ground Vehicles. New York: John Wiley and Sons.

   [8]        Gillespie, T.D. 1992. Fundamental of vehicle dynamics. USA: Society of Automotive Engineering (SAE Pub.), Inc.

   [9]        Owen, D. and Hinton, E. 1986. Finite Element in Plasticity: Theory and Practice. Swansea: Pinerridge press.

 [10]       Aliabadi, M.H. and Brebbia, C.A. 1993. Computational Mechanics in Contact Mechanics. Boston: Computational Mechanics Publications.

 [11]       Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. 2000. The Finite Element Method: The Basis. London: Butterworth-Heinemann.

 [12]       Bonet, J. and Wood, R. 1997. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge: Cambridge University Press.

---

1- دانشجو کارشناسی ارشد، بخش مهندسی مکانیک ماشین­های کشاورزی، دانشگاه شیراز، پست الکترونیک: [e-mail]

2- استادیار، بخش مهندسی مکانیک ماشین­های کشاورزی، دانشگاه شیراز

3- دانشجو کارشناسی ارشد، بخش مهندسی مکانیک ماشین­های کشاورزی، دانشگاه شیراز

[4]- Bekker                                                                    3-  Regli

[5]- Yong                                                                      4- Fervers

[6]- Invariant

[7]- Plastic Flow

[8]- Newton-Raphson procedure

[9]- Mooney-Rivlin model

[10]- Deviatoric

[11]- Associated Flow Rule

[12]- The Drucker-Prager model

[13]- Geometrical Nonlinearity

[14]- Material Nonlinearity   

[15]- Master Element

[16]- Summarized Constitutive Tensor